Podstawy i Algorytmy Przetwarzania Sygnałów
Prowadzący:
dr inż. Tomasz Grajek
mgr inż. Krzysztof Wegner
mgr inż. Dawid Mieloch
Wymagania wstępne
- Znajomość trygonometrii i geometrii analitycznej, szczególnie w zakresie operowania wektorami.
- Znajomość zasad rachunku całkowego i różniczkowego. Biegłość w wyznaczaniu całek oznaczonych z funkcji trygonometrycznych, wykładniczych, potęgowych i wielomianów. Biegłość w wyznaczaniu całek z funkcji złożonych.
- Dobra znajomość rachunku liczb zespolonych, umiejętność sprawnego przekształcania pomiędzy postacią kartezjańską a biegunową.
- Umiejętność analizowania przebiegu zmienności funkcji. Sprawne sporządzanie wykresów funkcji.
- Znajomość zagadnień związanych z ciągami i szeregami liczbowymi. Umiejętność określania zbieżności szeregów wg. różnych kryteriów. Umiejętność posługiwania się rachunkiem granicznym dla funkcji różniczkowalnych.
- Znajomość podstawowych praw fizyki, zwłaszcza związanych z przepływem prądu elektrycznego.
Program wykładu
- Sygnały i modele
- Pojęcie modelu. Deterministyczne i stochastyczne modele sygnałów
- Klasy sygnałów
- Sygnały ciągłe i dyskretne
- Sygnały analogowe i skwantowane
- Sygnały jednowymiarowe i wielowymiarowe
- Elementarne sygnały ciągłe (przykłady)
- Sygnały okresowe i nieokresowe
- Wyznaczanie okresu podstawowego
- Częstotliwość, faza i pulsacja
- Wpływ przekształceń sygnałów na okresowość i okres
- Sygnały harmoniczne rzeczywiste i zespolone. Wzory Eulera i ich interpretacja
- Podstawowe parametry i miary sygnałów ciągłych
- Amplituda, wartość średnia,
- Moc i energia sygnałów ciągłych, Sygnały energii i sygnały mocy,
- Wartość skuteczna, współczynniki kształtu i szczytu
- Składowe sygnałów
- Składowa stała i składowa zmienna
- Składowa parzysta i nieparzysta
- Ortogonalność sygnałów. Iloczyn skalarny
- Analogia pomiędzy sygnałami i wektorami
- Analiza sygnałów ciągłych za pomocą szeregu ortogonalnego
- Problem aproksymacji funkcji. Miary błędu
- Ortogonalne ciągi i szeregi funkcyjne
- Wyprowadzenie ogólnego wzoru Eulera-Fouriera
- Trygonometryczny szereg Fouriera
- Definicja
- Konsekwencje symetrii sygnału dla współczynników szeregu trygonometrycznego
- Alternatywne postaci szeregu trygonometrycznego
- Zespolona postać szeregu Fouriera
- Definicje
- Widmo sygnału rzeczywistego
- Związek pomiędzy trygonometryczną a zespoloną postacią szeregu Fouriera
- Konsekwencje symetrii sygnału dla współczynników zespolonego szeregu Fouriera
- Wpływ przesunięcia sygnału w czasie na współczynniki i widmo sygnału
- Widmo sumy i iloczynu sygnałów okresowych
- Wpływ kształtu sygnału na jego widmo
- Zbieżność szeregu Fouriera. Efekt Gibbs'a
- Twierdzenie Parsevala dla szeregu Fouriera
- Przekształcenie całkowe (transformacja) Fouriera
- Definicja
- Transformacja Fouriera a transformacja Laplace'a
- Liniowość przekształcenia Fouriera
- Wpływ symetrii sygnału na postać jego transformaty Fouriera
- dla sygnałów rzeczywistych
- dla sygnałów zespolonych
- Twierdzenia ilustrujące właściwości przekształcenia Fouriera
- Twierdzenie o symetrii
- Twierdzenie o zmianie skali
- Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu
- Twierdzenie o modulacji czyli o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości
- Twierdzenie o wartości w zerze
- Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie czasu
- Twierdzenie o całkowaniu w dziedzinie czasu
- Twierdzenie Parsevala dla przekształcenia Fouriera. Widmo gęstości energii
- Uogólnienie przekształcenia Fouriera: widma sygnałów mocy
- Transformata Fouriera z sygnału okresowego
- Transmisja sygnałów przez układy liniowe o stałych parametrach
- Układy LTI
- Definicje. Układy statyczne i dynamiczne
- Odpowiedź impulsowa układu LTI
- Odpowiedź układu LTI na dowolne pobudzenie
- Splot liniowy
- Twierdzenia o splocie dla przekształcenia Fouriera
- Transmitancja układu LTI
- Odpowiedź układu LTI na pobudzenie sygnałem sinusoidalnym oraz okresowym
- Charakterystyki częstotliwościowe układów LTI
- Charakterystyka amplitudowa
- Charakterystyka fazowa
- Charakterystyka amplitudowo-fazowa
- Charakterystyka opóźnienia fazowego
- Charakterystyka opóźnienia grupowego
- Filtry idealne i ich właściwości
- Korelacja
- Funkcja korelacji wzajemnej
- Funkcja autokorelacji
- Transformata Fouriera funkcji autokorelacji
- Funkcje korelacji sygnałów mocy
- Korelacja sygnałów wejściowego i wyjściowego w układach LTI
- Sygnały dyskretne
- Reprezentacje sygnału dyskretnego
- Sygnały elementarne- przykłady
- Transformata Fouriera sygnału spróbkowanego
- Związek między widmem sygnału spróbkowanego a widmem sygnału ciągłego
- Rekonstrukcja sygnału ciągłego
- Analiza i synteza układów ciągłych
- Przekształcenie Laplace'a'
- Definicja i właściwości przekształcenia L
- Interpretacja dziedziny s
- Obliczanie transformaty odwrotnej metodą reziduów
- Wyznaczanie transmitancji operatorowej układów LTI
- Wyznaczanie odpowiedzi impulsowej
- Zera i bieguny transmitancji a odpowiedź impulsowa
- Układy stabilne i niestabilne
- Układy minimalnofazowe
- Wprowadzenie do aproksymacji filtrów
- Gabaryty filtru
- Funkcja filtracji
- Kaskadowa realizacja filtru
- Filtr prototypowy i transformacje LP/LP, LP/HP, LP/BP
- Realizacje filtrów w układach aktywnych
Literatura do przedmiotu
- J. Wojciechowski, Sygnały i Systemy, WKiŁ, 2008
- M. Pasko, J. Walczak, Teoria Sygnałów, Wyd. P.Śl., 1999
- J. Izydorczyk, G. Płonka, G. Tyma, Teoria Sygnałów. Wstęp, Helion, 2006
- E. Szabatin, Wprowadzenie do teorii sygnałów, WNT
- R. Gabel, R. Roberts, Sygnały i systemy liniowe, WKiŁ
- R. Lathi, Sygnały i systemy telekomunikacyjne, WNT
- A. Papoulis, Sygnały i obwody, WKiŁ
- A. Oppenheim, A. Wilsky, I. Young, Signals and Systems, Prentice Hall
- K. Snopek, J. Wojciechowski, Sygnały i systemy. Zbiór zadań, O.Wyd. PW, 2009
- M. Tadeusiewicz, M. Ossowski, Sygnały i systemy. Zadania, Wyd. PŁ